Question

14．正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求出正四棱锥S-ABCD的高为$\sqrt{2}$，由V_S-ABC=V_A-SBC，利用等积法求出三棱锥A-SBC的高，由此能求出直线AC与平面SBC所成角的正弦值

解答 解：∵正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，
∴正四棱锥S-ABCD的高为$\sqrt{2}$，
在三棱锥S-ABC中，S_△ABC=2，∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又在三棱锥A-SBC中，S_△SBC=$\sqrt{3}$，
∵V_S-ABC=V_A-SBC，
∴三棱锥A-SBC的高为h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直线AC与平面SBC所成角的正弦值为$\frac{h}{AC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，求出三棱锥A-SBC的高是关键．