Question

3．如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点．
（1）设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα．
（2）设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ．
（3）在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，四面体ABCD为正四面体，设△BCD的中心为O，从而OA⊥底面BCD，过O作FG∥BC，连接DO并延长交BC于H，从而可以说明OH，OG，OA三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据已知条件可求出图形上一些点的坐标．连接AH，可以说明∠AHO为侧面ABC与底面BCD所成角为α，并且可求出OA，OH，从而求得tanα；
（2）先说明OA为平面BCD的法向量，从而根据sin$β=|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{CE}＞|=\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CE}|}$求出sinβ，从而求得cosβ；
（3）先假设存在点F，使直线AF与CE所成角为90°，可以设F（$\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，0$），而若使直线AF与CE所成角为90°，从而AF⊥CE，从而根据$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=0$求出y₀，从而确定F点的位置．

解答 解：（1）四面体ABCD的棱长都相等；
∴该四面体为正四面体；
∴A在底面BCD的投影为底面BCD的中心；设△BCD的中心为O，过O作BC的平行线，分别交BD，CD于F，G，连接DO并延长，交BC于H，则：H为BC中点；
∴OG⊥BC，OG⊥OE；
连接AO，则AO⊥底面BCD；
∴OH，OG，OA三直线两两垂直，∴分别以这三条直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设该正四面体棱长为2，则：
A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，0$），C（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0$），D（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0，0$），H（$\frac{\sqrt{3}}{3}，0，0$），E（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{6}}{3}$）；
连接AH，显然∠AHD为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角；
且$OH=\frac{\sqrt{3}}{3}，OA=\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
∴$tanα=\frac{OA}{OH}=2\sqrt{2}$；
（2）显然$\overrightarrow{OA}=（0，0，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$为底面BCD的法向量；
$\overrightarrow{CE}=（-\frac{2\sqrt{3}}{3}，-1，\frac{\sqrt{6}}{3}）$；
∴$sinβ=|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{CE}＞|$=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴$cosβ=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
（3）假设在直线BC上存在点F，使直线AF与CE所成角为90°，设F（$\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，0$），则：
$\overrightarrow{AF}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，-\frac{2\sqrt{6}}{3}）$；
直线AF与CE所成角为90°，即AF⊥CE；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=-2-{y}_{0}-4=0$；
∴y₀=-6；
∴存在点F，使直线AF与CE所成角为90°，并且F点在CB延长线上，且FB=5．

点评 考查正四面体的定义，等边三角形的中心也是重心，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角，异面直线的垂直等问题的方法，能确定空间点的坐标，二面角的平面角的定义，平面法向量的概念，直线与平面所成角和直线和平面法向量所成角的关系，三角函数的定义，向量垂直的充要条件．