Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）若PA=AB=2，求PC与面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据几何性质得出DE⊥AB，DE⊥AP，运用定理得出DE⊥面PAB，借助面面垂直的判定即可得证．
（II）得证CF⊥面PAD，判断出∠CPF为PA与面PAD所成角，运用三角形Rt△CAP求解即可．

解答 （Ⅰ）证明∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△ABD为正三角形，
E是AB的中点，DE⊥AB，
PA⊥面ABCD，DE?面ABCD，
∴DE⊥AP，
∴DE⊥面PAB，
∵DE?面PDE，
∴面PED⊥面PAB，
（II）在面ABCD内，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，连接PF，
∵PA⊥面ABCD，CF?面ABCD，
∴PA⊥CF，
又CF⊥面PAD，
∴∠CPF为PA与面PAD所成角，
在Rt△CFD中，∠CDF=60°，
∴CF=$\sqrt{3}$，
在Rt△CAP中AC=2$\sqrt{3}$，PA=2，
∴PC=4，
∴sin∠CPF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了直线平面的垂直问题，直线与平面所成的角的求解，关键是确定垂线，找出平面角，转化到三角形求解．