Question

19．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\sqrt{2}$．
（1）证明：BD⊥CE；
（2）求AE与平面BDE所成角的大小；
（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，借助空间向量来证BD⊥CE，只需在空间直角坐标系下，证明$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CE}$=0即可；
（2）DAE与平面BDE所成角，也即AE与平面BDE所成角的法向量所成角的余角，求出平面BD的法向量坐标即可；（3）先假设直线BE上存在一点M，使得CM∥平面ADE，$\overrightarrow{CM}$垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在．

解答 （1）证明：以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，$\sqrt{2}$），B（2，0，0）D（0，2，0），
取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=$\sqrt{2}$，
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
∴C的坐标为C（1，1，$\sqrt{2}$）
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-1，0）
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CE}$=2-2+0=0，
∴$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{CE}$，∴BD⊥CE；
（2）解：设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$）   
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$）    
又$\overrightarrow{AE}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
设平面DE与平面BCE所成角为θ，则
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{1+1+2}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴AE与平面BDE所成角为45°；
（3）解：假设存在点M使得CM∥面ADE，则$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EB}$
∵$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），∴$\overrightarrow{EM}$=（2λ，0，-$\sqrt{2}$λ）  
得M（2λ，0，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ）     　
又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE
∵CM∥面ADE，∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$=0
得2λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$
故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

点评 夲题考查了用空间向量求证线线垂直，线面平行，以及线面角，属于常规题，需掌握．