Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过焦点与长轴垂直的弦长为1，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 根据椭圆的离心率可以得到$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$①，过焦点的直线可表示为x=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，所以根据过焦点与长轴垂直的弦长为1得到$\frac{2{b}^{2}}{a}=1$②，从而解①②形成的方程组即可得出a，b，从而写出椭圆的方程．

解答 解：根据已知条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=1}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念，椭圆焦点的概念，以及a²=b²+c²．