Question

9．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）tanx+$\frac{cos（2π-x）tan（-x+\frac{π}{2}）}{cot（-π+x）}$．
（1）化简f（x）；
（2）若x是三角形的一个内角，且f（x）=$\frac{1}{5}$，求tanx；
（3）若x是三角形的一个内角，且f（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{1}{3}$，求f（$\frac{5π}{6}$+x）．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式及两角和的正弦函数公式即可得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式及万能公式即可得出．
（3）由已知可求sin（$\frac{5π}{12}$-x）的值，结合x的范围即可求得cos（$\frac{5π}{12}$-x）的值，根据诱导公式化简即可得解．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）tanx+$\frac{cos（2π-x）tan（-x+\frac{π}{2}）}{cot（-π+x）}$
=sinx+$\frac{cosx•cotx}{cotx}$
=sinx+cosx
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）；
（2）∵sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
∴两边平方可得：1+sin2x=$\frac{1}{25}$，可得sin2x=-$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$=-$\frac{24}{25}$，整理可得：12tan²x+25tanx+12=0，解得：tanx=-$\frac{3}{4}$或-$\frac{4}{3}$．
（3）∵f（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{1}{3}$，
∴可得：$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}$-x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{5π}{12}$-x）=$\frac{1}{3}$，解得：sin（$\frac{5π}{12}$-x）=$\frac{1}{3\sqrt{2}}$＞0，
∵0＜x＜π，∴解得：-$\frac{7π}{12}$＜$\frac{5π}{12}$-x＜$\frac{5π}{12}$，
∴解得：0＜$\frac{5π}{12}$-x＜$\frac{5π}{12}$，故可解得：cos（$\frac{5π}{12}$-x）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{5π}{12}-x）}$=$\sqrt{\frac{17}{18}}$，
∴f（$\frac{5π}{6}$+x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{5π}{6}$+x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{13π}{12}$+x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{7π}{12}$+x）=-$\sqrt{2}$cos（$\frac{5π}{12}$-x）=-$\sqrt{2}×$$\sqrt{\frac{17}{18}}$=-$\frac{\sqrt{153}}{9}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式等知识的应用，属于基本知识的考查．