Question

1．如图所示为一简单组合体，其底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，PD∥EC，PD=CD=2AD=2AB=2，CE=1
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若F为PC上的一点，试确定F的位置使得BF∥平面PAD；
（Ⅲ）求E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥BD，BC⊥PD，即可证明BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）F为PC的中点，取DC的中点M，连接BM，FM，证明平面BMF∥平面PAD，即可证明BF∥平面PAD；
（Ⅲ）由V_E-PBC=V_B-PCE可得E到平面PBC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AD=2AB=2，
∴BC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D
∴BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：F为PC的中点，使得BF∥平面PAD．
取DC的中点M，连接BM，FM，则FM∥PD
∵FM?平面PAD，PD?平面PAD，
∴FM∥平面PAD，
∵BM∥AD，BM?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BM∥平面PAD，
∵BM∩FM=M，
∴平面BMF∥平面PAD，
∵BF?平面BMF，
∴BF∥平面PAD；
（Ⅲ）解：由题意，Rt△PBC中，PB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
设E到平面PBC的距离为h，则由V_E-PBC=V_B-PCE可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面平行，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．