Question

6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点，设λ=$\frac{AE}{AB}$
（1）求证：DA₁⊥ED₁
（2）若直线DA₁与平面CED₁所成角为30°，求λ的值
（3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A₁DCB₁与平面CED₁所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系，可得：D（0，0，0），E（1，λ，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．只要证明：$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=0即可；
（2）设平面CED₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．由于直线DA₁与平面CED₁所成角为30°，可得sin30°=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$，解出即可；
（3）假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A₁DCB₁与平面CED₁所成二面角为60°．由于AD₁⊥平面A₁DCB₁，可取$\overrightarrow{D{A}_{1}}$为平面A₁DCB₁的法向量．
由（2）可知：平面CED₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1），利用cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$，解出即可．

解答 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），E（1，λ，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-λ，1），
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}⊥\overrightarrow{E{D}_{1}}$．即：DA₁⊥ED₁．
（2）解：C（0，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，λ-1，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1）．（0≤λ≤1）．
设平面CED₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+（λ-1）y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1）．
∵直线DA₁与平面CED₁所成角为30°，
∴sin30°=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$=$\frac{|1-λ+1|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+2}×\sqrt{2}}$，化为λ²-6λ+5=0，解得λ=1或5．
∵0≤λ≤1，
∴λ=1．
（3）解：假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A₁DCB₁与平面CED₁所成二面角为60°．
∵AD₁⊥平面A₁DCB₁，可取$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1）为平面A₁DCB₁的法向量．
由（2）可知：平面CED₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1），
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$=$\frac{|1-λ+1|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+2}\sqrt{2}}$，又0≤λ≤1，解得λ=1．
∴当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置点E即取B点时，使得平面A₁DCB₁与平面CED₁所成二面角为60°．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．