Question

18．已知函数y=f（x），对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3，且f（$\frac{1}{2}$）=4．
（Ⅰ）当n∈N^*时，求f（n）的表达式．
（Ⅱ）若b₁=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}•f（n-1）}$（n∈N^*），求b_n．
（Ⅲ）在b_n满足（Ⅱ）的前提下，及c_n=$\root{3}{b{\;}_{n}}$（n∈N^*），试证c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜89．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=$\frac{1}{2}$，得f（1）=5，由此导出f（n+1）-f（n）=2，从而求出当n∈N^*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）由b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}•f（n-1）}$（n∈N*），两边去倒数，再由累加法，由此能够导出b_n；
（Ⅲ）由题设条件可推出c_n=$\root{3}{b{\;}_{n}}$=$\root{3}{\frac{1}{{n}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$，再由放缩法可以证明c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜89．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=$\frac{1}{2}$，
得f（1）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-3=8-3=5，
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2，
当n∈N^*时f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3；
（Ⅱ）由b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}•f（n-1）}$（n∈N^*），
得$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+f（n-1），
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+2n+1，
故$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{3}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）
=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知c_n=$\root{3}{b{\;}_{n}}$=$\root{3}{\frac{1}{{n}^{2}}}$，
由$\root{3}{{n}^{2}}$＞$\sqrt{n}$，可得c_n＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n＞1），
又c₁=1
即有c_n＜2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n＞1），
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜1+2（$\sqrt{2}-1$）+2（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{2011}$-$\sqrt{2010}$）
=2$\sqrt{2011}$-1＜2×45-1=89．

点评 本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，运用构造数列法和累加法，属于中档题．