Question

9£®ÈôÖ±Ïßy=-x+1ÓëÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©ÏཻÓÚA£¬BÁ½µã£¬ÇÒÒÔABΪֱ¾¶µÄÔ²¾­¹ýµãO£¨ÆäÖÐOΪ×ø±êÔ­µã£©µ±ÍÖÔ²CµÄÀëÐÄÂÊe$¡Ê[\frac{1}{2}£¬\frac{\sqrt{3}}{2}]$ʱÍÖÔ²CµÄ³¤Ö᳤µÄ×î´óÖµÊÇ£¨¡¡¡¡£©

• A£® $\sqrt{10}$
• B£® $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C£® 3
• D£® $\frac{3}{2}$

Answer 1

·ÖÎö Éè³öµãA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©£¬ÓÉ$\overrightarrow{OA}$¡Í$\overrightarrow{OB}$µÃ³öx₁x₂+y₁y₂=0£»ÓÉ$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$£¬ÏûÈ¥yµÃ³ö£¨a²+b²£©x²-2a²x+a²£¨1-b²£©=0£»ÀûÓøùÓëϵÊýµÄ¹ØϵµÃx₁+x₂Óëx₁x₂£¬Çó³öa¡¢b¡¢cÓëeµÄ¹Øϵ£¬ÔÙÓÉeµÄ·¶Î§Çó³öaµÄÈ¡Öµ·¶Î§£¬´Ó¶øµÃ³ö³¤Ö᳤µÄ×î´óÖµ£®

½â´ð ½â£ºÉèA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©£¬
¡ß$\overrightarrow{OA}$¡Í$\overrightarrow{OB}$£¬¡à$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0£¬
¼´x₁x₂+y₁y₂=0£¬
ÓÉ$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$£¬ÏûÈ¥yµÃ£¨a²+b²£©x²-2a²x+a²£¨1-b²£©=0£¬
ÓÉ¡÷=£¨-2a²£©²-4a²£¨a²+b²£©£¨1-b²£©£¾0£¬ÕûÀíµÃa²+b²£¾1£»
¡ßx₁+x₂=$\frac{{2a}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$£¬x₁x₂=$\frac{{a}^{2}£¨1{-b}^{2}£©}{{a}^{2}{+b}^{2}}$£¬
¡ày₁y₂=£¨-x₁+1£©£¨-x₂+1£©=x₁x₂-£¨x₁+x₂£©+1£¬
¡àx₁x₂+y₁y₂=0£¬µÃ£º2x₁x₂-£¨x₁+x₂£©+1=0£¬
¡à$\frac{{2a}^{2}£¨1{-b}^{2}£©}{{a}^{2}{+b}^{2}}$-$\frac{{2a}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$+1=0£¬
ÕûÀíµÃ£ºa²+b²-2a²b²=0£®
¡àb²=a²-c²=a²-a²e²£¬´úÈëÉÏʽµÃ
2a²=1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$£¬¡àa²=$\frac{1}{2}$£¨1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$£©£¬
¡ß$\frac{1}{2}$¡Üe¡Ü$\frac{\sqrt{3}}{2}$£¬
¡à$\frac{1}{4}$¡Üe²¡Ü$\frac{3}{4}$£¬¡à$\frac{1}{4}$¡Ü1-e²¡Ü$\frac{3}{4}$£¬
¡à$\frac{4}{3}$¡Ü$\frac{1}{1{-e}^{2}}$¡Ü4£¬¡à$\frac{7}{3}$¡Ü1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$¡Ü5£¬
¡à$\frac{7}{6}$¡Üa²¡Ü$\frac{5}{2}$ÊʺÏÌõ¼þa²+b²£¾1£®
Óɴ˵Ã$\frac{\sqrt{42}}{6}$¡Üa¡Ü$\frac{\sqrt{10}}{2}$£¬¡à$\frac{\sqrt{42}}{3}$¡Ü2a¡Ü$\sqrt{10}$£¬
¹Ê³¤Ö᳤µÄ×î´óֵΪ$\sqrt{10}$£®
¹ÊÑ¡£ºA£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁËÖ±ÏßÓëÍÖÔ²±ê×¼·½³ÌµÄÓ¦ÓÃÎÊÌ⣬Ҳ¿¼²éÁËƽÃæÏòÁ¿ÓëÔ²µÄÓ¦ÓÃÎÊÌ⣬¿¼²éÁ˼ÆËãÄÜÁ¦ÓëÂß¼­ÍÆÀíÄÜÁ¦£¬ÊÇ×ÛºÏÐÔÌâÄ¿£®