Question

14．教师节到了，为丰富节目生活，学校组织教师歌唱比赛，通过海选共6名教师进入决赛，其中两名男教师四名女教师，比赛通过随机抽签的方式决定出场顺序．
（1）求两名男教师恰好在前两位出场的概率；
（2）若比赛中两位男教师之间的女教师的人数记为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）确定甲、乙两班恰好在前两位出场的事件数，求出基本事件总数，利用古典概型的概率公式可求；
（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“两名男教师恰好在前两位出场”为事件A，则P（A）=$\frac{{A}_{2}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{15}$．
所以两名男教师恰好在前两位出场的概率为$\frac{1}{15}$…（4分）
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4．
P（X=0）=$\frac{{A}_{2}^{2}{A}_{5}^{5}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{4{A}_{2}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{4}{15}$，P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}{A}_{2}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{15}$…（10分）
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

因此EX=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{4}{15}$+2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{1}{15}$=$\frac{4}{3}$，
即随机变量的数学期望为$\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查古典概型概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．