Question

9．数列{a_n}中，a₁=3，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，则a_n=$\frac{3}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通过$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，从而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{3}$，进而可得结论．

解答 解：∵a₁=3，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n-$\frac{1}{3}$=$\frac{2n-1}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{2n-1}$，
故答案为：$\frac{3}{2n-1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．