Question

17．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=2a，∠CAB=90°，AC=$\sqrt{2}$a．则点B到平面AB₁C的距离为$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．

Answer 1

分析 可采用等积法，只要求出三角形AB₁C的面积，则B到面AB₁C的距离即可求得．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2a，∠CAB=90°，AC=$\sqrt{2}$a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，
△AB₁C中，AB₁=$\sqrt{6}$a，B₁C=2$\sqrt{2}$a，AC=$\sqrt{2}$a，∴${S}_{△A{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{6}a$=$\sqrt{3}{a}^{2}$，
设点B到平面AB₁C的距离为h．
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×2a=\frac{1}{3}×\sqrt{3}{a}^{2}h$，
解得h=$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．

点评 本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．