Question

7．已知实数a、b、c满足a+b+c=2，a²+b²+c²=4，且a＞b＞c，不等式ln（a²+2a）-a≥M恒成立，则M的最大值是ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，由柯西不等式得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，将①②代入③可求得a的范围，构造函数f（a）=ln（a²+2a）-a（$\frac{2}{3}$＜a≤2），利用导数可求得函数f（a）的最小值．

解答 解：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，
由柯西不等式，得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，
将①②代入③得，2（4-a²）≥（2-a）²，解得-$\frac{2}{3}$≤a≤2，
又a＞b＞c，∴3a＞a+b+c=2，∴a＞$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$＜a≤2．
令f（a）=ln（a²+2a）-a（$\frac{2}{3}$＜a≤2）．
则f′（a）=$\frac{（\sqrt{2}+a）（\sqrt{2}-a）}{{a}^{2}+2a}$，
当$\frac{2}{3}$＜a＜$\sqrt{2}$时f′（a）＞0，当$\sqrt{2}$＜≤2时f′（a）＜0，
∴f（$\sqrt{2}$）为极大值，也为最大值，
f（a）_min=min{f（$\frac{2}{3}$），f（2）}，
而f（$\frac{2}{3}$）=ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$，f（2）=ln8-2，
f（$\frac{2}{3}$）-f（2）=（4ln2-2ln3-$\frac{2}{3}$）-（3ln2-2）=ln$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{3}$≈-1.514+1.333＜0，
∴f（a）_min=f（$\frac{2}{3}$），
∴M≤ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．
即M的最大值为ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$，
故答案为：ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$．

点评 该题考查不等式的求解、函数恒成立等知识，考查学生分析问题解决问题的能力，利用已知条件求解a的范围是解决本题的关键所在．