Question

12．如图，在棱锥A-BCDE中，平面ABE上平面BCDE，BE⊥AE，BE⊥ED，ED∥BC，BC=BE=EA=2，DE=1．
（I）若F为AB中点，求证：EF∥平面ADC；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AC}$，求BM与平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 判断得出AE⊥DE，距离坐标系得出$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，-2），利用向量的数量积求解平面ADC的法向量为$\overrightarrow{n}$，
（I）根据向量的垂直得出$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{n}$=（-1）×1+2×0+1×1=0，$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{n}$，利用直线平面的平行证明．
（II）利用向量的数量积得出sinα=|cos＜$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|求解即可．

解答 证明：∵平面DEBC⊥平面ABE且交于BE，BE⊥AE，
∴AE⊥平面BCDE，
∴AE⊥DE，
∵BE⊥AE，BE⊥ED，
∴分别以EB，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，-2），
设平面ADC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$
令z=1，y=2，x=-1，
可得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1）
（I）∵F为AB中点，
∴F（1，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）
∴$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{n}$=（-1）×1+2×0+1×1=0，
$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{n}$
∵EF?平面ADC，
∴EF∥平面ADC；
（II）∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AC}$，知M（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$）
设BM与平面ADC所成角为α
sinα=|cos＜$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|
=$\frac{|（-\frac{1}{3}）×（-1）+2×\frac{5}{3}+1×\frac{1}{3}|}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

点评 本考查了直线平面得出平行，利用空间向量的运算求解空间角，考查了学生的计算化简能力，空间思维能力，属于中档题．