Question

20．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角M-AB-C的余弦值．

解答 解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B     …（3分）
∴PC⊥平面ABC，…（4分）    
 又∵PC?平面PAC  …（5分）
∴平面PAC⊥平面ABC  …（6分）
（2）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，
建立空间直角坐标系C-xyz（如图）
由题意有A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（0，2，0）
 设P（0，0，z），（z＞0），
则M（0，1，z），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，z），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，z），
由直线AM与直线PC所成的解为60°，得
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AM}$=|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{CP}$|cos60°，
即z²=$\frac{1}{2}$z$•\sqrt{{z}^{2}+3}$，解得：z=1   …（8分）
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1），
设平面MAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$），…（10分）
平面ABC的法向量取为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）…（11分）
设$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{m}$所成的角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{93}}{31}$，…（13分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角余弦值为$\frac{\sqrt{93}}{31}$． …（14分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定依据二面角的求解，根据定义法以及向量法是解决空间二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．