Question

15．中心在原点的椭圆C关于坐标轴对称，点B（0，1）是椭圆C的一个短轴端点，点P，Q在椭圆C运动，若椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且△BPQ的垂心恰好为椭圆C的右焦点，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 由题意可求得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；再设直线PQ的方程为y=x+k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；从而可得x₁+x₂=-$\frac{4k}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$，再构造向量$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FP}$=（x₁-1，y₁）；从而化简求得k=1或k=-$\frac{4}{3}$；再检验即可．

解答 解：由题意，b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1；
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
∵△BPQ的垂心恰好为椭圆C的右焦点F（1，0）；
∴设直线PQ的方程为y=x+k，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$得，
3x²+4kx+2k²-2=0，
△=（4k）²-4×3×（2k²-2）＞0，
故-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$；
x₁+x₂=-$\frac{4k}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$，
又∵$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FP}$=（x₁-1，y₁）；
∴x₂（x₁-1）+（y₂-1）y₁=0，
即2x₂x₁+（k-1）（x₂+x₁）+k（k-1）=0，
即2$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$-（k-1）$\frac{4k}{3}$+k（k-1）=0，
化简得，（k-1）（3k+4）=0；
故k=1或k=-$\frac{4}{3}$；
经检验，当k=1时，B，P，Q三点重合，无解；
故k=-$\frac{4}{3}$；
故直线PQ的方程为y=x-$\frac{4}{3}$．
即3x-3y-4=0．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系及其应用，属于中档题．