Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，E为CB₁与BC₁的交点．
（1）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面DB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面DB₁C的法向量，利用线面夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：∵E为CB₁与BC₁的交点，∴E为BC₁的中点，
又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC₁的中位线，
∴DE∥AC₁，
又DE?平面ACC₁A₁，
∴DE∥平面AC C₁ A₁，
（2）解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C₁C，且BC⊥C₁C=C，
以CA．CB．CC₁分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴$A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），D（{\frac{3}{2}，2，0}），{B_1}（0，4，4），{C_1}（{0，0，4}）$，
$\overrightarrow{CD}=（{\frac{3}{2}，2，0}），\overrightarrow{C{B_1}}=（{0，4，4}），\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-4，4}）$．
设平面DB₁C的法向量$\overrightarrow n$=（x₀，y₀，z₀），
则由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{B_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{x_0}+2{y_0}=0\\ 4{y_0}+4{z_0}=0\end{array}\right.$，
令x₀=4，则y₀=-3，z₀=3，
∴$\overrightarrow n$=（4，-3，3），
又直线BC₁与平面DB₁C所成角θ的正弦值即直线BC₁与平面DB₁C的法向量夹角的余弦值，
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{B{C_1}}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{C_1}}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{B{C_1}}}|}}}|=\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$，
∴直线BC₁与平面DB₁C所成角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题考查了直棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、向量垂直与数量积的关系、线面夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．