Question

16．如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AD=AA₁=3．
（1）求证：AC⊥平面BB₁D；
（2）求二面角B-B₁D-C的余弦值；
（3）试判断线段CD₁上是否存在点P，使A₁P∥平面B₁CD，若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面BB₁D；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角B-B₁D-C的余弦值；
（3）根据线面平行的判定定理以及向量法进行判断即可．

解答 证明：（1）易知，AB，AD，AA₁两两垂直，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，3），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，3，0），D₁（0，3，3），
故$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，3），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，BD?平面BB₁D，BB₁?平面BB₁D，
∴AC⊥平面BB₁D；
（2）∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，1，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，2，0），
∴设平面B₁DC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y-3z=0}\\{-\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，
$\overrightarrow{n}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，1，\frac{1}{3}）$，
∵AC⊥平面BB₁D，
∴$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{3}，1，0）$为平面BB₁D的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{9\sqrt{22}}{44}$，
故二面角B-B₁D-C的余弦值为$\frac{9\sqrt{22}}{44}$．
（3）不存在，
假设线段CD₁上存在点P，使A₁P∥平面B₁CD，
设$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}C}$，λ∈[0，1），
∵$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（$\sqrt{3}，-2，-3$），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（$\sqrt{3}λ$，-2λ，-3λ），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}+\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（$\sqrt{3}λ$，3-2λ，-3λ），
要使A₁P∥平面B₁CD，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}•\overrightarrow{n}=0$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}λ+3-2λ-λ=0$，
解得λ=3∉[0，1），
∴线段CD₁上不存在点P，使A₁P∥平面B₁CD．

点评 本题主要考查空间线面平行和线面垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算能力．