Question

16．如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，半径为1，点A（0，3）．
（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；
（Ⅱ）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kx-y+3=0．由题意，$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0，k=$-\frac{3}{4}$，所求切线方程为：y=3或3x+4y-12=0；
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，
∴圆C的方程设为：（x-a）²+（y-（2a-4））²=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，化简可得x²+（y+1）²=4，点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M（x，y）在圆上，
∴圆C和圆D有公共点，则|2-1|≤|CD|≤2+1，
∴1$≤\sqrt{{（a-0）}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤3，即1$≤\sqrt{{5a}^{2}{-12a+9}^{\;}}≤3$，5a²-12a+8≥0，可得a∈R，由5a²-12a≤0，可得0$≤a≤\frac{12}{5}$，
圆心C的横坐标a的取值范围：$[0，\frac{12}{5}]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．