Question

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是BB₁，BC的中点，（1）直线MN与平面BDD₁B₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（2）则图中阴影部分在平面ADD₁A₁上的投影的面积为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用正方体的性质得到AC的对交面的垂线，由此得到NQ为对角面的垂线，得到线面角；然后求值；
（2）只要找到三个顶点的投影即找到平面的投影．

解答 解：（1）因为已知是正方体，连接AC，容易得到AC⊥平面BDD₁B₁，M、N分别是BB₁，BC的中点，
过N作NQ∥AC，则NQ⊥平面BDD₁B₁，所以直线MN与平面BDD₁B₁所成的角为∠NMQ；
其中MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NQ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以MQ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，所以直线MN与平面BDD₁B₁所成角的余弦值为$\frac{MQ}{MN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）图中阴影部分MND在平面ADD₁A₁上的投影为EFD的面积，其中E，F分别是AA₁，AD的中点，所以其面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$；
如图

故答案为：（1）$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（2）$\frac{1}{8}$

点评 本题考查了正方体中线面角的求法以及图形的投影；关键是要有较好的空间想象能力．