Question

1．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=3x的图象上，且S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列|$\frac{1}{{d}_{n}}$|的前n项和T_n，并求使$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$成立的最大正整数n．

Answer 1

分析 （1）先利点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=3x的图象上，且S₃=26，求出q=3，a₁=2，即可求数列{a_n}的通项；
（2）先把所求结论代入求出数列{T_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．

解答 解：（1）∵点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=3x的图象上，
∴a_n+1=3a_n，∴公比q=3，
∴S₃=26，∴a₁+3a₁+9a₁=26，解得a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2×3^n-1．
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
∵在a_n于a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，
∴a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴d_n=$\frac{4×{3}^{n-1}}{n+1}$，∴$\frac{1}{{d}_{n}}$=$\frac{n+1}{4×{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{2}{4×{3}^{0}}$+$\frac{3}{4×3}$+…+$\frac{n+1}{4×{3}^{n-1}}$，①
T_n+1=$\frac{2}{4×3}$+$\frac{3}{4×{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{4×{3}^{n}}$②
①-②，整理得T_n=$\frac{15}{16}$-$\frac{2n+5}{16×{3}^{n-1}}$．
∴$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$，即3^n-1≤27，解得n≤4，
∴使得$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$成立的正整数n的最大值是4．

点评 本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．