Question

3．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；
（ⅡⅡ）求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点O、AD中点F，连结EO、OF．以O为坐标原点，以OE、OC、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，通过平面ABE的法向量与平面ADE的法向量的数量积为0即得结论；
（Ⅱ）所求值即为平面ADE的法向量与平面BDE的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：取BC中点O、AD中点F，连结EO、OF，
∵△BEC为边长为4的等边三角形，
∴OE⊥BC，OE=2$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=4，CD=2，
∴OF⊥平面BEC，OF=3，
∴OE、OC、OF两两垂直．
如图，以O为坐标原点，以OE、OC、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），E（2$\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），B（0，-2，0），
F（0，0，3），A（0，-2，4），D（0，2，2），
∴$\overrightarrow{BA}$=（0，0，4），$\overrightarrow{EA}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，4），$\overrightarrow{DA}$=（0，-4，2），
设平面ABE的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{m}$=0，
取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ADE的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{n}$=0，
取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，0）•（$\sqrt{3}$，1，2）=0，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，即平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）解：由（I）知$\overrightarrow{DA}$=（0，-4，2），$\overrightarrow{DE}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-2），$\overrightarrow{DB}$=（0，-4，-2），
设平面ADE的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{m}$=0，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
设平面BDE的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{n}$=0，
取z=6，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，6），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-3+12}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{3+9+36}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴二面角A-DE-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．