Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过左焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，且有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2，则椭圆的长半轴长a的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 由题意求出直线AB垂直于x轴的a值，然后验证对过左焦点的其它直线也满足$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2得答案．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴${c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
则${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，
当过左焦点的直线与x轴垂直时，|AF|=|BF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
代入$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2，得$\frac{2a}{{b}^{2}}=2$，即a=${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，解得：a=4．
此时椭圆方程为x²+4y²-16=0．
椭圆左焦点F₁（-2$\sqrt{3}，0$），直线AB的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程得：$（co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ）{t}^{2}-4\sqrt{3}tcosθ-4=0$．
∴${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4\sqrt{3}cosθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}，{t}_{1}{t}_{2}=\frac{-4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
则$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{|AF|+|BF|}{|AF||BF|}=\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=$\frac{\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}cosθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}）^{2}+\frac{16}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}}{\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}$=$\frac{\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}{\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}}=2$．
综上，满足条件的椭圆的长半轴长a的值为4．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的几何性质，考查了特值法、验证法在解题中的应用，考查了计算能力，是中档题．