Question

16．已知1＜a＜2，f（x）=log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）（x＞1），
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）和这个反函数的定义域D；
（2）设x∈D，g（x）=$\frac{{2}^{x}+2{\;}^{-x}}{2}$，比较f^-1（x）与g（x）的大小；
（3）设b_n=f^-1（n），求证：对任意正整数n，都有b₁+b₂+b₃+…+b_2n＜4ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由求解反函数的步骤，首先反解出x，再将x换成y，y换成x，可得反函数，再由x＞1，1＜a＜2，可得定义域D；
（2）作差，分解因式，再由指数函数的单调性，即可判断f^-1（x）与g（x）的大小；
（3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式，化简整理，再由基本不等式，即可得证．

解答 解：（1）y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）（x＞1），
即有a^y=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$，a^-y=x-$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
则x=$\frac{1}{2}$（a^y+a^-y），即有f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），
当x＞1时，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$＞1，又1＜a＜2，
则log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）＞0，即反函数的定义域D=（0，+∞）；
（2）g（x）-f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}+2{\;}^{-x}}{2}$-$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）
=$\frac{1}{2}$（2^x-a^x）（1-$\frac{1}{{2}^{x}{a}^{x}}$），
由1＜a＜2，x＞0，则2^x＞a^x，$\frac{1}{{2}^{x}{a}^{x}}$＜1，
则g（x）-f^-1（x）＞0，即g（x）＞f^-1（x）；
（3）证明：b_n=f^-1（n）=$\frac{1}{2}$（aⁿ+a^-n）＜$\frac{1}{2}$（2ⁿ+2^-n），
则有b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$\frac{1}{2}$（a+a^-1）+$\frac{1}{2}$（a²+a^-2）+$\frac{1}{2}$（a³+a^-3）+…+$\frac{1}{2}$（a²ⁿ+a^-2n）
＜$\frac{1}{2}$（2+2^-1）+$\frac{1}{2}$（2²+2^-2）+$\frac{1}{2}$（2³+2^-3）+…+$\frac{1}{2}$（2²ⁿ+2^-2n）
=$\frac{1}{2}$（2+2²+2³+…+2²ⁿ）+$\frac{1}{2}$（2^-1+2^-2+2^-3+…+2^-2n）
=$\frac{1}{2}$$•\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{-1}（1-{2}^{-2n}）}{1-{2}^{-1}}$=2²ⁿ-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）
＜2²ⁿ-$\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{1}{{2}^{2n}}}$=4ⁿ-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
即有对任意正整数n，都有b₁+b₂+b₃+…+b_2n＜4ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查函数的反函数的求法，主要考查指数函数的单调性的运用，以及等比数列的求和公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．