Question

4．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）若f（0）=0时，求函数f（x）的解析式．
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）≥c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f′（1）=0，f′（2）=0，解方程可得a，b，又c=0，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出导数，求得单调区间，可得f（x）的极值，求得端点的函数值，即可得到区间[0，3]上的最大值，可得c的不等式，解得即可得到c的范围．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=4．        
又因为f（0）=0，所以c=0，
所以f（x）=2x³-9x²+12x；                           
（2）由（1）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3）时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c
则当x∈[0，3]时，f（x）的最小值为f（0）=8c．           
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）≥c²恒成立，所以8c≥c²，解得0≤c≤8，
因此c的取值范围为[0，8]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．