Question

12．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D、E分别为ABCD的中点，AE的延长线交CB于点F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连接AF．
（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过折起后AE⊥CD、EF⊥CD，及面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过B作EF的延长线的垂线交EF于O点，连结OA，则∠BAO就是直线AB与平面AEF所成的角．通过余弦定理及勾股定理可得AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，在Rt△ABO中利用sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$计算即可．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，D为AB的中点，∠CAD=60°，∴AD=CD=DB，
又E是CD的中点，得AE⊥CD，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CDB，∴平面AEF⊥平面CBD；
（2）解：由（1）知CD⊥平面AEF，
过B作EF的延长线的垂线交EF于O点，连结OA，
∴OB∥CD，∴OB⊥平面AEF，
∴∠BAO就是直线AB与平面AEF所成的角．
设AC=a，在△CDB中，∠DCB=30°，CE=$\frac{a}{2}$，CB=$\sqrt{3}$a，
∴EB²=CE²+CB²-2CE•CB•cos∠DCB=$\frac{7{a}^{2}}{4}$，
又AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴AB=$\sqrt{\frac{7{a}^{2}}{4}+\frac{3{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
又CF=$\frac{\frac{a}{2}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∴BF=$\sqrt{3}$a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asin60°=a，
∴sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线AB与平面AEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查空间中面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．