Question

2．已知⊙M与⊙N的极坐标方程分别为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求⊙M与⊙N的圆心的极坐标；
（2）若⊙M、⊙N的交点为A，B，求直线AB的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把曲线的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再把圆心坐标化为极坐标；
（2）在直角坐标系下，把⊙O₁与⊙O₂的方程相减，可得公共弦所在的直线方程，再把它化为极坐标方程．

解答 解：（1）由ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）得，
ρ=2cosθ-2sinθ，ρ=2sinθ+2cosθ，则ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴⊙M与⊙N的圆的普通方程：x²+y²-2x+2y=0，x²+y²-2x-2y=0，
∴⊙M与⊙N的圆心直角坐标是M（1，-1），N（1，1），
则⊙M与⊙N的圆心的极坐标M（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$），N（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y=0}\end{array}\right.$，
两式相减得，y=0，
∴直线AB的直角坐标系下的方程是y=0，
由y=ρsinθ得ρsinθ=0，
则直线AB的极坐标方程ρsinθ=0．

点评 本题考查点的坐标极坐标和直角坐标的互化，以及极坐标方程与普通方程的互化，两圆相交时公共弦所在方程的求法．