Question

10．已知等比数列{a_n}，首项为81，数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，其前n项和S_n．
（1）证明{b_n}为等差数列；
（2）若S₁₁≠S₁₂，且S₁₁最大，求{b_n}的公差d的范围．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得b_n，再由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的单调性，可得{b_n}为递减的数列，即公差d＜0，由b₁₁≥0，b₁₂＜0，即可得到公差d的范围．

解答 （1）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，
则a_n=81q^n-1，
b_n=log₃a_n═log₃（81q^n-1）
=log₃81+log₃q^n-1=4+log₃q^n-1
=4+（n-1）log₃q，
即有b_n-b_n-1=log₃q，
则{b_n}为首项为4，log₃q为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可得{b_n}为首项为4，log₃q为公差d的等差数列，
又S₁₁≠S₁₂，且S₁₁最大，
即有log₃q＜0，①
b₁₁≥0，b₁₂＜0，即为4+10log₃q≥0，4+11log₃q＜0，
解得-$\frac{2}{5}$≤log₃q＜-$\frac{4}{11}$②
由①②可得，
-$\frac{2}{5}$≤log₃q＜-$\frac{4}{11}$．
即有{b_n}的公差d的范围为[-$\frac{2}{5}$，-$\frac{4}{11}$）．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项，主要考查等差数列的通项及单调性和最值，注意运用数列的递减性，属于中档题．