Question

15．求值：$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$，其中$π＜α＜\frac{3π}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用二倍角的余弦函数结合角的范围，化简求解即可．

解答 解：∵$π＜α＜\frac{3π}{2}$，∴$\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$=$\frac{1+sinα}{\sqrt{2{cos}^{2}\frac{α}{2}}-\sqrt{2{sin}^{2}\frac{α}{2}}}$$+\frac{1-sinα}{\sqrt{2{cos}^{2}\frac{α}{2}}+\sqrt{2{sin}^{2}\frac{α}{2}}}$
=$\frac{1+sinα}{-\sqrt{2}（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{2}（-cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$
=$\frac{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}{-\sqrt{2}}$+$\frac{-cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}{\sqrt{2}}$
=-$\sqrt{2}$$cos\frac{π}{2}$．

点评 本题考查二倍角个数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．