Question

18．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=1，PB=PC=BC=2，AB=AC=$\sqrt{3}$，
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理证明PA⊥AB，PA⊥AC，可证PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）在△ABC中，过B作BG⊥AC，垂足是G，连接PG，证明∠BPG是直线PB与平面PAC所成角，即可求解直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

解答 （I）证明：由已知PA²+AB²=PB²，∴PA⊥AB
同理PA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴PA⊥面ABC；
（Ⅱ）解：在△ABC中，过B作BG⊥AC，垂足是G，连接PG，
∵PA⊥面ABC，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥面ABC，
∵BG⊥AC，平面PAC∩面ABC=AC，
∴BG⊥平面PAC，
∴∠BPG是直线PB与平面PAC所成角．
在△ABC中，BC=2，AB=AC=$\sqrt{3}$，∴BG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△PBG中，cos∠BPG=$\frac{4+\frac{4}{3}-\frac{8}{3}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线PB与平面PAC所成角的正弦值，关键是正确作出直线PB与平面PAC所成角，是中档题．