Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AA₁⊥平面ABC；
（2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）利用向量法即可求点C到平面A₁BC₁的距离．

解答 证明：（1）因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
所以AA₁⊥平面ABC．（3分）
解：（2）由（1）知，AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由题意知AB=3，BC=5，AC=4，
所以AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4）．
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3y-4z=0}\\{4x=0}\end{array}\right.$．
令z=3，则x=0，y=4，
所以$\overrightarrow{n}=（0，4，3）$．
同理可得，平面BC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（3，4，0）$．
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{16}{25}$．
由题知二面角A₁-BC₁-B₁为锐角，所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为$\frac{16}{25}$．

（3）由（2）知平面A₁BC₁的法向量为以$\overrightarrow{n}=（0，4，3）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=（0，0，4）$
所以点C到平面A₁BC₁距离$d=\frac{{\overrightarrow{{C_1}C}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力．