Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求二面角P-BN-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=0$且AM?面PCD内得答案；
（Ⅱ）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置，然后再求出平面PBN的一个法向量，而$\overrightarrow{AP}$是平面PAB的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值求得二面角P-BN-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
则$\overrightarrow{AM}=（0，1，1），\overrightarrow{PD}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，-2，0）$，
设平面PCD的法向量是$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{-x-2y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=2，y=-1，于是$\overrightarrow{n}=（2，-1，1）$．
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=0$，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{n}$，即AM∥平面PCD；
（Ⅱ）解：∵点N是线段CD上的一点，∴可设$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=λ（1，2，0）$，
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$=（1，0，0）+λ（1，2，0）=（1+λ，2λ，0），
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=（1+λ，2λ，0）-（0，1，1）$=（1+λ，2λ-1，-1），
又面PAB的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，0）$．
设MN与平面PAB所成的角为θ，
则$sinθ=|{\frac{（1+λ，2λ-1，-1）•（1，0，0）}{{\sqrt{{{（1+λ）}^2}+{{（2λ-1）}^2}+1}}}}|=|{\frac{1+λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+3}}}}|$=$|\frac{1+λ}{\sqrt{5（1+λ）^{2}-12（1+λ）+10}}|$
=|$\frac{1}{\sqrt{5-\frac{12}{1+λ}+10（\frac{1}{1+λ}）^{2}}}$|=|$\frac{1}{\sqrt{10（\frac{1}{1+λ}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$|．
∴当$\frac{1}{1+λ}=\frac{3}{5}$，即$λ=\frac{2}{3}$时，sinθ最大，
MN与平面PAB所成的角最大此时$\overrightarrow{AN}=（\frac{5}{3}，\frac{4}{3}，0），\overrightarrow{BN}=（\frac{5}{3}，-\frac{2}{3}，0）$，
设平面PBN的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n}_{1}}=2{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{n}_{1}}=\frac{5}{3}{x}_{1}-\frac{2}{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$．
令x₁=2，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（2，5，5）$，
又$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AP}⊥$平面BNC，
$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{AP}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{5\sqrt{6}}{18}$．
又由图知二面角P-BN-C为钝角，
∴二面角P-BN-C的余弦值为$-\frac{5\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题考查了运用空间向量求证线面的垂直关系，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．