Question

16．在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，3）且斜率为k的直线l与圆x²+y²=4有两个不同的交点P和Q．
（1）求k的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1），若向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）经过点（0，3）且斜率为k的直线l与圆x²+y²=4有两个不同的交点P和Q，圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，即可求出k的取值范围；
（2）把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系，求得$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$的坐标，再利用$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线，求出k值．

解答 解：（1）经过点（0，3）且斜率为k的直线l：y=kx+3，即kx-y+3=0，
∵经过点（0，3）且斜率为k的直线l与圆x²+y²=4有两个不同的交点P和Q，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
∴k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）把直线l的方程y=kx+3代入曲线C的方程x²+y²=4得，（1+k²）x²+6kx+5=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5}{1+{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，kx₁+3+kx₂+3）=（-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+6）．
由A（2，0），B（0，1），∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，1）．
∵$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线，
∴-2（-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+6）=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，
∴k=2．
即存在常数k=2满足题中的条件．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，准确计算是解题的难点．