Question

1．已知函数y=f（x），x∈N，如果存在一个函数y=g（x），x∈N，且满足f（n）=g（n+1）-g（n），n∈N，那么有：f（1）+f（2）+…+f（n）=g（n+1）-g（1）．
（1）当f（n）=$\frac{1}{n（n+1）}$时，请给出相应的g（n），并求f（1）+f（2）+…+f（100）的值；
（2）当f（n）=2ⁿ时，请给出相应的g（n），并求f（1）+f（2）+…+f（100）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（n）=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，可取g（n）=-$\frac{1}{n}$，运用裂项相消求和，即可得到所求值；
（2）当f（n）=2ⁿ时，f（n）=g（n+1）-g（n），可取g（n）=2ⁿ，即有2ⁿ⁺¹-2ⁿ=f（n），运用裂项相消求和，即可得到所求值．

解答 解：（1）当f（n）=$\frac{1}{n（n+1）}$时，f（n）=g（n+1）-g（n），
由f（n）=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，则g（n+1）-g（n）=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可取g（n）=-$\frac{1}{n}$，g（n+1）=-$\frac{1}{n+1}$，上式成立．
即有f（1）+f（2）+…+f（100）=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）
=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$；
（2）当f（n）=2ⁿ时，f（n）=g（n+1）-g（n），
可取g（n）=2ⁿ，g（n+1）=2ⁿ⁺¹，即有2ⁿ⁺¹-2ⁿ=f（n），
则f（1）+f（2）+…+f（100）=（2²-2¹）+（2³-2²）+…+（2¹⁰¹-2¹⁰⁰）
=2¹⁰¹-2．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．