Question

16．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）求直线AC与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出$\frac{PG}{GA}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线AC与平面PCD的法向量，然后根据两个向量的数量积公式，求出直线AC与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）求出平面PFD的法向量，及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出tG点位置，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则，
∵$\overrightarrow{PC}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-c=0}\\{2b-c=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
∴直线AC与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．（6分）
（Ⅱ）设平面PFD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．（8分）
设G点坐标为（0，0，m），E（$\frac{1}{2}$，0，0），则$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{1}{2}$，0，m），
要使EG∥平面PFD，只需$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{n}$=0，即-$\frac{1}{2}$+2m=0，
得m=$\frac{1}{4}$，从而$\frac{PG}{GA}$=3．（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查直线AC与平面PCD所成角的正弦值的计算，考查逻辑推理能力，考查向量法的运用，考查空间想象能力．