Question

1．已知椭圆焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=-2任取椭圆上一点P（异于短轴端点M、N）直线MP、NP分别交直线l于点T、S，则|ST|的最小值为多少？

Answer 1

分析 利用椭圆离心率的意义和a、b、c的关系即可求出椭圆的方程；先设出点T、S的坐标，可写出直线MT、NS的方程，联立即可得出点P的坐标，再代入椭圆方程即可得出s、t的关系，进而求出|ST|最小值．

解答 解：根据题意，得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b²=1，a²=4，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
设点S（s，-2），T（t，-2）不妨设t＞0，s＜0．
则直线SN的方程为：y=-$\frac{1}{s}$x-1；
直线TM的方程为：y=-$\frac{3}{t}$x+1．
联立直线SN、TM方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{s}x-1}\\{y=-\frac{3}{t}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2ts}{3s-t}}\\{y=-\frac{3s+t}{3s-t}}\end{array}\right.$，
即点P（$\frac{2ts}{3s-t}$，-$\frac{3s+t}{3s-t}$）．
代入椭圆的方程得$\frac{{s}^{2}{t}^{2}}{（3s-t）^{2}}$+$\frac{（3s+t）^{2}}{（3s-t）^{2}}$=1，化为st=-12．
∴|ST|=t-s=t+$\frac{12}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{12}{t}}$=4$\sqrt{3}$，
当且仅当t=2$\sqrt{3}$时取等号，
即|ST|的最小值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的定义与性质、直线相交问题的解法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．