Question

13．如图，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）设$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$（0≤λ≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

Answer 1

分析 （1）证明：AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，即可证明C₁B⊥平面ABC；
（2）以B为原点，BC，BA，BC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB₁E的法向量，平面BEB₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求λ的值．

解答 （1）证明：因为侧面AB⊥BB₁C₁C，BC₁?侧面BB₁C₁C，
故AB⊥BC₁，…（2分）
在△BCC₁中，$BC=1，C{C_1}=B{B_1}=2，∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$，由余弦定理得$B{C_1}=\sqrt{3}$，
故$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，所以BC⊥BC₁，…（4分）
而BC∩AB=B，∴BC₁⊥平面ABC…（6分）
（2）解：由（1）可知，AB，BC，BC₁两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，1，0），B₁（-1，0，$\sqrt{3}$），C（1，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{CE}$=（-λ，0，$\sqrt{3}$λ），
∴E（1-λ，0，$\sqrt{3}$λ），
则$\overrightarrow{AE}$=（1-λ，-1，$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，-1，$\sqrt{3}$）．
设平面AB₁E的法向量为$\vec n=（{x，y，z}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（1-λ）x-y+\sqrt{3}λz=0}\\{-x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3-3λ}{2-λ}$，$\frac{3}{2-λ}$，$\sqrt{3}$）是平面AB₁E的一个法向量．
∵$\overrightarrow{BA}$=（0，1，0）是平面BEB₁的一个法向量，
∴平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的余弦为|$\frac{\frac{3}{2-λ}}{1×\sqrt{（\frac{3-3λ}{2-λ}）^{2}+（\frac{3}{2-λ}）^{2}+3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
两边平方并化简得2λ²-5λ+3=0，∴λ=1或$λ=\frac{3}{2}$（舍去）…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．