Question

2．已知函数f（x）=1+$\frac{2}{x}$，数列{x_n}满足x₁=$\frac{11}{7}$，x_n+1=f（x_n），若b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）先由f（x）的式子给出x_n+1的表达式，然后由b_n的式子给出b_n+1的表达式，再用等比数列的定义即可证明；
（2）由等比数列的通项公式给出b_n的表达式．

解答 解：∵f（x）=1+$\frac{2}{x}$，数列{x_n}满足x₁=$\frac{11}{7}$，x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=1+$\frac{2}{{x}_{n}}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$，
∵b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{x}_{n}+1}{3（{x}_{n}-2）}$
∴b_n+1=$\frac{1}{{x}_{n+1}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{{x}_{n}}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\frac{2}{{x}_{n}}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2（{x}_{n}+1）}{3（2-{x}_{n}）}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2，
∴{b_n}是等比数列，
（2）∵x₁=$\frac{11}{7}$，b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，
∴b₁=$\frac{1}{\frac{11}{7}-2}$+$\frac{1}{3}$=-2，
由（1）可知公比q=-2，
∴b_n=（-2）ⁿ．

点评 本题考查了函数和数列的关系，抓住函数的表达式是解题的关键，属于中档题．