Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（b＞a），若?x∈R，f（x）≥0恒成立，则$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值为3．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质得出∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac≤0}\\{a＞0}\\{b＞a}\end{array}\right.$即c$≥\frac{{b}^{2}}{4a}$．根据代数运算结合基本不等式得出$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{[（b-a）+3a]^{2}}{4a（b-a）}$≥$\frac{4×（b-a）×3a}{4a（b-a）}$=3（b=c=4时等号成立）

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（b＞a），若?x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac≤0}\\{a＞0}\\{b＞a}\end{array}\right.$即c$≥\frac{{b}^{2}}{4a}$．
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$=$\frac{[（b-a）+3a]^{2}}{4a（b-a）}$≥$\frac{4×（b-a）×3a}{4a（b-a）}$=3（b=c=4a时等号成立），
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值为3，
故答案为：3．

点评 本题主要考二次函数的性质，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．