Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左右焦点分别为F₁、F₂，点A（2，$\sqrt{3}$），点F₂在线段AF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P、Q两点，求△PF₂Q的周长．

Answer 1

分析 （1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），由点F₂在线段AF₁的中垂线上，即有|AF₂|=|F₁F₂|，运用两点的距离公式计算可得c=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²
求出|PQ|，可得结论．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
点F₂在线段AF₁的中垂线上，即有|AF₂|=|F₁F₂|，
（c-2）²+3=4c²，解得c=1（负值舍去），
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有a=$\sqrt{2}$，
b=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1（|x₁|≤$\sqrt{2}$）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=$\frac{1}{2}$（x₁-2）²，
∴|PF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-1=$\frac{1}{2}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=$\sqrt{2}$，
同理可求|QF₂|+|QM|=$\sqrt{2}$，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2$\sqrt{2}$．
即有△PF₂Q的周长为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．