Question

14．如图所示，椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则x₀²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0②，联立①②消去y₀，分离出m用基本不等式即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，
因为A（-1，0），P（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），
所以点M的坐标为（$\frac{1}{5}$，$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
由于点M在椭圆C上，即有$\frac{1}{25}$+$\frac{12}{25m}$=1，
解得m=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则 x₀²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1，①
因为M是线段AP的中点，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因为OP⊥OM，所以$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OM}$，
所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即 x₀（2x₀+1）+2y₀²=0．②
由①，②消去y₀，整理可得m=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}}{2{{x}_{0}}^{2}-2}$，
m=1+$\frac{1}{2（{x}_{0}+2）+\frac{6}{{x}_{0}+2}-8}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{12}-8}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
当且仅当x₀=-2+$\sqrt{3}$时，上式等号成立．
所以m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．