Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，分别为CD、PB的中点，AE=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面AEF⊥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面AEF⊥平面PAB；
（2）方法一：利用定义法求出二面角的平面角即可求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．
方法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=2．
在△ADE中，AE=$\sqrt{3}$，DE=1，
∴AD²=DE²+AE²．
故∠AED=90°，即AE⊥CD．
又AB∥CD，
∴AE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．又∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB
又∵AE?平面AEF，平面AEF⊥平面PAB．       
（2）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAB，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
由（1）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，
∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAE．
∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面．
所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．
在Rt△PAE中，PE²=AE²+PA²=3+4=7，
即PE=$\sqrt{7}$．
又PA=2，∴$cos∠APE=\frac{2}{{\sqrt{7}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
∵PA=AB=2，$AE=\sqrt{3}$，
∴A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，$\sqrt{3}$，0）、C（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PE}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{CE}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
由（1）知AE⊥平面PAB，
故平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{0，1，0}）$
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x，y，z}）$，

则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y-2z=0}\\{-x=0}\end{array}\right.$，
令y=2，则z=$\sqrt{3}$，x=0，
则$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，2，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用定义法或向量法是解决本题的关键．