Question

14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：FA⊥BC；
（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；
（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设$\frac{DM}{DF}$=k（0＜k≤1），则M（1-k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．

解答 （Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以FA⊥平面ABCD，
由于BC?平面ABCD，所以FA⊥BC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．
由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．
以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．

因为AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，
则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），
所以$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），
设平面BCE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$．
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
设直线BD与平面BCE所成角为θ，
因为$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），
所以sinθ=|$\frac{1-2}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（$\frac{1}{2}$，1，0）．
设$\frac{DM}{DF}$=k（0＜k≤1），则M（1-k，0，k），
∴$\overrightarrow{MH}$=（k-$\frac{1}{2}$，1，-k），$\overrightarrow{FD}$=（1，0，-1）．
若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．
即$\overrightarrow{FD}•\overrightarrow{MH}$=0．
∴k-$\frac{1}{2}$+k=0．解得k=$\frac{1}{4}$．
则$\overrightarrow{MH}$=（$\frac{1}{4}$，1，-$\frac{1}{4}$），|$\overrightarrow{MH}$|=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．