Question

1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，EF∥AD，且AB=6，AE=3$\sqrt{2}$，EF=3．
（Ⅰ）若AC与BD交于点O，求证：EO∥平面FCD；
（Ⅱ）求证：DE⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角A-FD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图1，取CD中点G，连接OG，FG，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质定理可得EO∥FG，再利用线面平行的判定定理即可证明：EO∥平面FCD．
（Ⅱ）如图2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．利用向量与数量积的关系可得：DE⊥AB，DE⊥AF，即可证明DE⊥平面ABF．

（Ⅲ）设二面角A-FD-B的大小为θ，θ是锐角，利用向量垂直与数量积的关系分别得出平面的法向量，利用cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：如图1，取CD中点G，连接OG，FG，
在△CAD中，∵O，G分别是CA，CD的中点，
∴OG∥AD，且$OG=\frac{1}{2}AD$，
又由已知得，EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD$，
∴$EF\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}OG$，
∴四边形OGFE是平行四边形，
∴EO∥FG，
又EO?平面FCD，FG?平面FCD
∴EO∥平面FCD．
（Ⅱ）证明：如图2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（6，0，0），$F（0，3，3\sqrt{2}）$，D（0，6，0），$E（0，0，3\sqrt{2}）$，
$\overrightarrow{DE}=（0，-6，3\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（6，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，3，3\sqrt{2}）$．
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AB}=0$，
且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AF}=0-18+18=0$，
∴DE⊥AB，DE⊥AF； 
又AB∩AF=A，∴DE⊥平面ABF．
（Ⅲ）解：设平面BFD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由（Ⅱ）知$\overrightarrow{DF}=（0，-3，3\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（6，-6，0）$
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=-3y+3\sqrt{2}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=6x-6y=0\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$，
又平面AFD的法向量为$\overrightarrow{AB}=（6，0，0）$，
设二面角A-FD-B的大小为θ，θ是锐角，
则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{6\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
∴二面角A-FD-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、向量与数量积的关系、法向量与空间角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．