Question

12．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．
（1）求证：BD⊥平面PAC；    
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=90°，AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．可得AB=2．于是矩形ABCD是正方形，可得BD⊥AC．利用线面垂直的性质可得：PA⊥BD，即可证明：BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，利用三垂线定理可得：CD⊥PD，于是∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：∵∠BAD=90°，AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．∴$AB=\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2．
∴矩形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．
在Rt△PAD中，tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=1，
∴∠PDA=45°．
∴二面角P-CD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了矩形与正方形的性质、线面垂直的性质与判定定理、三垂线定理、二面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．