Question

18．一班现有9名学生去学校组织的高中数学竞赛选拔考试，该活动有A，B，C是哪个等级，分别对应5分，4分，3分，恰有3名学生进入三个级别，从中任意抽取n名学生（每个人被抽到的可能性是相同的，1≤n≤9），再将抽取的学生的成绩求和．
（1）当n=3时，记事件A={抽取的3人中恰有2人级别相等}，求P（A）．
（2）当n=2时，若用ξ表示n个人的成绩和，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由古典概型概率计算公式给求出P（A）．
（2）ξ可能的取值为10，9，8，7，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．

解答 解：（1）事件A={抽取的3人中恰有2人级别相等}，
P（A）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{9}{14}$．…（4分）
（2）ξ可能的取值为10，9，8，7，6，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=9）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=7）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$…（9分）
∴ξ的分布列为：

ξ	10	9	8	7	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（10分）
Eξ=10×$\frac{1}{12}$+9×$\frac{1}{4}$+8×$\frac{1}{3}$+7×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{1}{12}$=8．…（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望的求法，是中档题．