Question

13．如图，已知点A（-4，0），AB=AC，且△ABC的内切圆方程为（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$．
（1）求经过A、B、C三点的椭圆标准方程；
（2）过椭圆上的点M作圆的切线，求切线长最短时的点M的坐标和切线长．

Answer 1

分析 （1）设BC和圆切于D点，AB和圆切于E点，圆心设为N，根据圆的标准方程可以知道圆心坐标及半径长，从而根据AD²+DB²=（AE+DB）²可以求出DB，从而求得B点坐标．根据A，B点坐标即可求出椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1$；
（2）设过M所作切线的切点为P，连接PN，MN，从而根据$P{M}^{2}+\frac{4}{9}=M{N}^{2}$即可知道，M到圆心的距离最小时，切线长最小，设P（4cosθ，sinθ），从而得到$M{N}^{2}=15（cosθ-\frac{8}{15}）^{2}+\frac{11}{15}$，从而可得到MN²的最小值，及M点坐标，从而得出最短切线长．

解答 解：（1）设内切圆的圆心为N，根据内切圆方程知，N（2，0），半径为$\frac{2}{3}$，如图所示：
如图所示，设内切圆两个切点为D，E，则：
AN=6，NE=$\frac{2}{3}$，∴AE=$\sqrt{36-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{20}}{3}$；
在Rt△ABD中，AN=$\frac{20}{3}$，AB=$\frac{4\sqrt{20}}{3}+BE$=$\frac{4\sqrt{20}}{3}+DB$；
又AD²+DB²=AB²；
即$\frac{400}{9}+D{B}^{2}=（\frac{4\sqrt{20}}{3}DB）^{2}$；
解得$DB=\frac{\sqrt{20}}{6}$；
∴B（$\frac{8}{3}，\frac{\sqrt{20}}{6}$）；
根据图形知，椭圆的长半轴为4，所以设椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
椭圆经过B点，所以：
$\frac{64}{16×9}+\frac{20}{36{b}^{2}}=1$，解得b=1；
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1$；
（2）如下图所示，
过M作圆的切线，切点为P，连接NP，MNMN，NP为圆的半径；
则：$P{M}^{2}+\frac{4}{9}{=MN}^{2}$；
∴MN最小时，PM最小，设M（4cosθ，sinθ），则：
MN²=（4cosθ-2）²+sin²θ=15cos²θ-16cosθ+5=$15（cosθ-\frac{8}{15}）^{2}+\frac{11}{15}$；
∴$cosθ=\frac{8}{15}$时，MN²最小，即PM最小，且PM=$\frac{\sqrt{65}}{15}$；
即切线长为$\frac{\sqrt{65}}{15}$；
此时sinθ=$±\frac{\sqrt{161}}{15}$，∴M点坐标为：M（$\frac{32}{15}，\frac{\sqrt{161}}{15}$），或M（$\frac{32}{15}，-\frac{\sqrt{161}}{15}$）．

点评 考查圆的标准方程，圆心和切点的连线和切线垂直，直角三角形边的关系，椭圆的长轴定义，椭圆的标准方程，以及利用三角函数设椭圆上点坐标的方法，配方法求最值．