Question

7．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设椭圆的左焦点F（-c，0）．由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可．设直线l的方程为my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式可得y_P，利用S_△PFO=$\frac{1}{2}$c|y_P|和基本不等式即可得出．

解答 解：设椭圆的左焦点F（-c，0），
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，
设直线l的方程为my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，
化为（b²m2+a²）y²-2b²mcy+b²c²-a²b²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2{b}^{2}mc}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴y_P=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}mc}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴S_△PFO=$\frac{1}{2}$c|y_P|=$\frac{1}{2}$$•\frac{{b}^{2}{c}^{2}|m|}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$b²c²•$\frac{1}{{b}^{2}|m|+\frac{{a}^{2}}{|m|}}$
≤$\frac{1}{2}$b²c²•$\frac{1}{2\sqrt{{b}^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
当且仅当|m|=$\frac{a}{b}$时取等号．此时△PFO的最大值为$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
即有直线l的方程为x+$\frac{a}{b}$y+$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=0或x-$\frac{a}{b}$y+$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=0．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积最大值问题、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．