Question

12．已知f（x）=ax-lnx，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，求出a的值．

Answer 1

分析 （I）由f（x）在x=1处有极值，可得f′（1）=0，解得a，可得f（x），解出f′（x）＞0，即可得出f（x）的单调递增区间．
（II）由f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，对a分类讨论，利用单调性即可得出a的取值．

解答 解：（I）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵f（x）在x=1处有极值，
∴f′（1）=a-1=0，解得a=1，
经过检验，a=1时，f（x）在x=1处有极值，
∴a=1．
∴f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
（II）由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
∵存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，
当$\frac{1}{a}≥e$时，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，由f（e）=ae-1=2，解得a=$\frac{3}{e}$，不满足条件，舍去；
当$0＜\frac{1}{a}＜e$时，则f（x）在区间$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减，在区间$（\frac{1}{a}，e）$上单调递增．
∴当x=$\frac{1}{a}$时取得极小值即最小值，∴$f（\frac{1}{a}）$=1+lna=2，解得a=e，满足条件．
综上可得：当a=e时，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．